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Index

 

I- L’Intégraphe

 

-II- Le Planimètre Polaire

 

-III-   Le Compas Diviseur

 

-IV- Le Compas d’Inversion

 

 

 

-V- Le Compas à Cissoïde

 

-VI- Les Compas à Ellipse

-VII- Le Compas Parfait

 

-VIII- Le Compas de Réduction

Pantographe- (1)

-IX-   Le Pantographe

 

-X- L’ellipsographe de Clemens Riefler

 

-XI- Le compas à Volute de H. Johnson

 

-XII- Le Compas à Volute de Leyerer

 

 

XIII-  Compas à Volute à crémaillère

 

-XIV- Les règles articulées et à glissières, de van Schooten

 

 

 

        

Des outils mathématiques en Meccano

 

Compas à Cissoïde (2)

 

De nombreuses professions utilisent des objets mathématiques, les ingénieurs, les architectes, les géomètres, les cartographes etc… de nos jours, un ordinateur leur permet de résoudre tous les problèmes liés aux calculs et aux tracés de ces objets. Mais jusqu’aux années 70, tous ces travaux étaient effectués manuellement, à l’aide de quelques outils de conception entièrement mécanique.

 

L’idée m’est venue de réaliser certains des outils de dessins, en usages dans les siècles précédents, en utilisant des pièces Meccano. Mais dès le début on se trouve confronté à un problème : Meccano est parfait pour réaliser des mécanismes élaborés, mais totalement imprécis pour des mécanismes simples n’utilisant que des articulations.

En effet, la visserie Meccano de 3,8mm présente un jeu considérable dans les trous de 4,2mm. L’idéal serait de munir les deux parties d’une articulation d’un bras de manivelle. Dans ce cas une tige Meccano de 4,05mm présente un jeu très satisfaisant dans les colliers des bras de manivelle, percée à 4,1mm. Le problème reste entier car les vis servant à fixer les bras de manivelle empêchent la fermeture complète de l’articulation, on peut évidemment placer une entretoise, mais l’articulation mesure alors 25mm d’épaisseur, ce qui est trop pour des articulations minces devant se superposer sur parfois trois niveaux.

J’ai trouvé plusieurs solutions pour contourner ces problèmes :

-1- Utiliser des rivets Hornby prévus pour les attelages de wagons et dont des répliques sont toujours en vente pour restaurer des wagons. Ces rivets de 4,1 mm extérieur, s’encastrent sans aucun jeu dans les bandes perforées.

-2- Agrandir les trous à 4,5mm et placer des rivets standards de 4,5mm et qui ont l’avantage d’avoir un trou de 4, 05mm pour laisser le passage d’une tringle Meccano.

-3- Utiliser la visserie Erector de 1930 aux normes américaines de 4mm au lieu de 3,8mm.

-4- Agrandir le trou à 8mm et sertir un moyeu récupéré sur une épave de roue Meccano, ce qui évite l’utilisation d’un bras de manivelle fixé par des vis.

 

En combinant ces quatre procédés, on peut construire tous les types d’articulations nécessaires, avec un jeu très réduit et donc une précision suffisante pour ces outils. Reste également à savoir profiter de pièces pseudo-Meccano régulièrement vendu lors des expos. Des tringles de 4,05mm en tronçon de 1m, des bandes et des cornières étroites de différentes longueurs, des cornières en U de grande longueur, des vérins en laiton utilisés par les constructeurs d’engins de levages etc… A chaque expo des pièces hors normes sont proposées, il faut savoir profiter de ces occasions en disant ça peut servir…

 

Il faut aussi parfois couper, percer ou tordre certaines pièces. Eventuellement agrandir la longueur des glissières dans certaines bandes à glissière.

 

 

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-I-   L’Intégraphe

 

L’intégraphe ou compas intégrateur est un outil permettant de construire la courbe intégrale d’une courbe donnée. Basé sur les travaux de Abdank-Abakanowicz, cet appareil a été mis au point par Coradi à la fin du 19ième mais n’a été réellement commercialisé qu’au début du 20ième siècle. Contrairement aux planimètres qui ne font que mesurer des aires, l’intégraphe trace réellement la courbe intégrale d’une autre courbe et de ce fait appartient à la famille des compas. Cette courbe intégrale permet de calculer rapidement l’aire sous la courbe initiale.

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Intégraphe LEGO (3)

 

Récemment, un modèle de ce compas intégrateur a été réalisé en LEGO-TECHNIK, il eut été dommage de ne pas tenter une réalisation un en Meccano.

 

Integraphe

 

Ce type d’intégraphe se compose de quatre chariots indépendants les uns des autres et dont l’interaction permet de tracer la courbe intégrale.

Le premier chariot, le plus simple à réaliser, roule directement sur le plan de travail qui doit être parfaitement lisse mais pas glissant. J’ai utilisé une planche en mélanine blanche de 50cm sur 80cm.

Ce chariot assure le mouvement suivant la direction de l’axe des abscisses dessiné à même la planche.

Des roues de 25mm avec pneus, fixées sur des axes traversant toute la longueur du chariot permet d’éviter à celui-ci de dévier de sa trajectoire toujours parallèle à l’axe des abscisses.

La tringle pivot située près du centre de ce chariot doit impérativement rester à la verticale de l’axe des abscisses pendant tous les déplacements du chariot.

 

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Le bâti du chariot est constitué de trois cornières de 37 trous, de deux cornières de 25 trous, d’une bande de 25 trous (l’axe des X) et d’une poutrelle plate de 43 trous (coupée dans une poutrelle de 49 trous). Quatre bandes de 5 trous viennent renforcer les angles.

Le second chariot, ou chariot enregistreur, suit le tracé de la courbe initiale (ici la droite y = x) afin de transmettre les données au reste du système. Ce chariot roule sur les deux cornières à droite du premier chariot, donc toujours suivant la direction de l’axe des ordonnées. Le déplacement simultané des deux chariots permet au pointeau de suivre le tracé d’une courbe. La distance entre les deux tringles verticales situées sur ces deux chariots doit déterminer l’unité utilisée pour les tracés des courbes. Ce chariot est constitué de cornières étroites de 5, 9 et 12 trous et de deux poutrelles plates de 3 trous. Les roues sont des poulies en laiton de 16mm sans moyeux.

 

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Le troisième chariot n’est pas monté sur roues, c’est une simple glissière qui coulisse librement sur les deux tringles verticales situées sur les chariots N°1 et N°2. Un peu de graisse facilite ce mouvement. Cet élément, le plus simple à réaliser, est l’élément clé du mécanisme. Sa direction (en mathématique, sa pente ou coefficient directeur) est toujours proportionnelle à l’ordonnée du pointeau enregistreur et cette direction sera transmise à la roue directrice du quatrième chariot.

Le quatrième chariot, ou chariot traceur, dessine la courbe intégrale. Il est relié au quatrième chariot par un parallélogramme articulé de sorte que la roue de 25mm munie d’un anneau de caoutchouc soit toujours parallèle au troisième chariot. Cette roue est aussi un élément primordial, le terme de disque tranchant utilisé pour la désigner est une métaphore mathématique : cette roue est censée creuser une ornière et ne pas en sortir elle doit assurer au chariot traceur de suivre la bonne direction quoi qu’il arrive. C’est la roue avant du tricycle, le gouvernail de ce chariot, et cela implique une adhérence parfaite aussi bien au niveau du choix du support (évitons tous ce qui ressemble à une plaque de verglas) qu’au niveau du pneumatique (genre roue de vélo de course). Des essais concluants ont été fait avec une lame tranchante en forme de fer de hache mais cela raye le support, de même pour une roulette très affutée.

 La position de cette roue détermine la trajectoire du chariot traceur sur la poutrelle plate de 43 trous. Ce chariot porte à son extrémité gauche un porte-mine et il est lesté en trois endroits : à droite pour éviter que les poulies de 15mm quittent la poutrelle-rail, au centre pour que la roue gouvernail ne ripe pas sur le papier,  quant au lest de gauche, il ne porte que sur le porte-mine qui coulisse librement de haut en bas. Deux des lests sont en plomb ; ils remplacent des empilements de pièces Meccano ; ils sont moins encombrants et surtout évitent un gâchis inutile de pièces.

 

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Le porte mine est un tube de 4mm, intérieur 3mm, doublé à son extrémité d’un tube de 3mm où coulisse une mine de 2mm. Une fente à cette extrémité permet à la bague d’arrêt de serrer la mine.

Le lest en plomb repose sur la roue à barillet ; il peut être remplacé par un empilement de disques de 35mm.

 

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Lorsque les quatre chariots sont positionnés, il reste à placer les côtés du parallélogramme (deux bandes étroites de 25 trous) qui relient la pièce en T (7 trous) du chariot coulissant avec les deux bandes de 7 trous solidaires et perpendiculaires à la roulette gouvernail du chariot traceur.

Personnellement je n’ai vraiment réussi à comprendre le fonctionnement de l’Intégraphe, qu’après l’avoir vu fonctionner, c’est bluffant de constater qu’une simple roulette directrice puisse à ce point forcer le déplacement du chariot et donc du porte mine.

 

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On peut remarquer sur la gauche la parabole tracée par le porte-mine, c’est effectivement la courbe intégrale de la droite y = x parcourue par le curseur du chariot N°1 à droite.

 

Un dernier volet pour finir cet article ; il est réservé à ceux qui ne se contentent pas du comment, mais veulent aussi comprendre le pourquoi.

Un peu de Mathématiques, niveau terminale est nécessaire pour assimiler ce qui suit.

 

La théorie de cet instrument est extrêmement simple et dépend de la relation existante entre la courbe donnée et une courbe intégrale correspondante.

L’instrument est construit comme il suit : Un chariot rectangulaire C se déplace sur des roulettes au-dessus du plan dans une direction parallèle à l’axe des X de la courbe y= f(x).

Deux cotés du chariot sont parallèles à l`axe des X, les deux autres, naturellement, lui sont perpendiculaires. Le long de l’un de ces cotés perpendiculaires se déplace un petit curseur C1 portant la pointe à tracer T, et le long de l’autre, un petit curseur C2 portant une tige F, qui peut tourner autour d’un axe perpendiculaire à la surface et qui supporte le disque tranchant D, au plan duquel cette tige est perpendiculaire. Un bouton S1 est fixé sur le curseur C1 de façon à être à la même distance de l’axe, des X que la pointe à tracer T. Un second bouton S2 est, fixé dans une traverse du chariot principal C, de façon à être sur l’axe des X. Une barre évidée R relie ces deux boutons et coulisse sur eux. Un curseur transversal H glisse sur cette barre et est relié à la traverse F par un parallélogramme. La partie essentielle de l’instrument consiste dans le disque tranchant D qui, appuyé par une pression, se déplace sur une surface plane continue (papier). Ce disque ne glisse pas et par suite, quand il roule, il doit toujours se déplacer le long d’un chemin auquel la trace du plan du disque est tangente en chaque point.

Si maintenant on met ce disque en mouvement, il est évident, d’après la figure, que la construction de l’appareil assure que le plan du disque D sera parallèle à la barre R.

 

integraphe002

 

Si a est la distance comprise entre les ordonnées passant par les boutons S1 et S2 et t l’angle que fait R (et par suite aussi le plan du disque) avec l’axe de X, nous avons

 

(A)    tg t = y/a           

               

et si      Y = F(X)  est la courbe tracée par le point de contact du disque, nous avons :

 

    (B)    tg t = dY/dX  = dY/dx     puisque x = X' + d, ou d = largeur de l’appareil.

En comparant (A) et (B), il vient dY/dx = y/a    ou   

 

(C)   Y = 1/a ∫ y dx = 1/a ∫ f(x)dx = F(X)

 

C’est-à-dire que la courbe    y = F(x)      est une courbe intégrale de la courbe

 

(D)       Y = 1/a f(x)

 

Le facteur 1/a fixe évidemment, simplement l’échelle à laquelle la courbe intégrale est tracée et n’affecte pas sa forme.

Un crayon ou une plume est attaché au curseur C2 afin de tracer la courbe  y = F(x).

Le déplacement du disque D, avant de tracer la courbe primitive, équivaut au changement de la constante d’intégration.

 

*texte extrait de « ELEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL » (Granville & Smith) 1959

 

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-II-   Le Planimètre Polaire

 

 

Les planimètres sont des outils permettant de mesurer directement une aire en suivant son contour. Ils n’appartiennent pas à la famille des compas car aucun tracé n’est effectué. Dans le cas du planimètre polaire, le point pivot est assujetti à décrire un arc de cercle.

Il y a deux familles très différentes de planimètres polaires : le système Amsler inventé dès 1854 et le système Coradi vers 1920.

 

 

Planimètre MORIN (3)

 

Dans le cas du système Amsler, la roulette, le pivot et le pointeau sont alignés parallèlement à la règle.

 

 

Planimètre WICHMANN (5)

 

Dans le système Coradi, la roulette est sur le côté de la règle, et seul, l’axe pivot-pointeau est parallèle à la règle.

 

 

Dans les deux systèmes, le bloc mécanisme peut parfois coulisser sur la règle, en fonction de l’échelle choisie. Le modèle construit en Meccano est du type Coradi avec mécanisme coulissant.

 

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Cet appareil comporte trois parties indépendantes : la règle graduée avec le pointeau, le mécanisme enregistreur, coulissant et le bras décrivant un cercle.

La règle est constituée d’une cornière en U coupée à 33 trous ; ce n’est pas une pièce Meccano standard, mais il s’en est vendu beaucoup à Calais et on peut encore en trouver chez certains des revendeurs habituels. L’extrémité de cette règle porte une pointe pour suivre le contour de l’aire à mesurer. J’ai utilisé une tringle de 5cm limée en pointe d’un côté et filetée de l’autre côté. Une bague d’un pignon en plastique s’adapte exactement pour fixer la pointe. La tête de vis à droite, glisse sur la surface afin que la pointe n’accroche pas le plan de travail.

 

 

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Les graduations sur la règle sont obtenues à partir du scan d’un mètre à ruban métallique. Elles doivent être positionnées de façon à ce que l’index marque exactement la distance entre le pointeau et le pivot.

Le chariot coulissant sur la règle est constitué de plusieurs bandes coupées et coudées aux longueurs nécessaires.  Des blocs d’acier ou de laiton ont été filetés car les accouplements Meccano filetés sont un peu trop longs.

Une petite roue à barillet de Meccano-Elec assure le positionnement horizontal du chariot.

Une roue à boudin, dont on a meulé le rebord, est fixée du côté gauche pour porter le vernier.

Un axe de 5cm à bouts coniques (Meccano Elec) porte l’autre roue à boudin graduée et une vis sans fin. Cette dernière s’engrène sur un pignon de 10 dents soudé sur un disque de 35mm gradué de 0 à 9. Le pignon de 10 dents est aussi fixé sur un axe à bouts coniques de 2cm (fabrication maison car il n’existe pas d’axe aussi court dans Meccano-Elec). Les deux axes du mécanisme sont maintenus par les boulons pivots de Meccano-Elec (le boulon pivot inférieur devra être raccourci). Le plus difficile reste à faire… il faut fabriquer les graduations pour la roue à boudin de 28mm. D’abord il faut scanner un tronçon de réglet entre 0 et 10, éventuellement repositionner les N°, puis recopier le tronçon 0-1 le réduire au 9/10 et le positionner face au précédent pour constituer le vernier.

 

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Réduire le segment à la longueur du périmètre de la roue à boudin, puis, avant de l’imprimer sur papier photo brillant, recopier plusieurs fois le motif en variant la longueur d’une fraction de mm car aucun calcul ne peut faire face aux impondérables d’une imprimante. Avec de la chance, dès le premier essai, l’une des bandes recouvre parfaitement le contour de la roue, attention on ne veut pas du presque parfait. Si l’on veut que le vernier fonctionne, il faut une précision au moins de 0,1mm.

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Le troisième élément est un bras constitué de 3 bandes de 25 trous avec une cheville filetée à une extrémité et articulée sur un tronçon de cylindre Meccano à l’autre extrémité.

 

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Le cylindre Meccano est trop long, j’ai tronçonné un vieux cylindre défraichi (on peut aussi utiliser une bande de 3 par 11 trous enroulée), un lest de plomb est fixé à l’intérieur. Il est traversé par un tube de 4mm doublé à l’extrémité par un tube de 3mm. Une encoche sur ce tube permet à la vis de la bague d’arrêt de serrer une pointe de phono dépassant de 2mm. Cela permet à cette masse de ne pas riper pendant le suivi d’un contour.

Avant d’aller plus loin, il faut vérifier que l’axe passant par le pointeau et le pivot de l’articulation entre le bloc mécanisme et le bras, est bien parfaitement parallèle à la règle. 

Il reste à calibrer le mécanisme. Pour cela on doit déplacer le chariot, cm par cm, à chaque position, prendre plusieurs fois le contour d’une aire connue ( j’ai choisi un carré 1dm²). Bien noter ces réponses dans un tableau. Il faut affiner les calculs au points importants (x4, x3, x2, x1,5 & x1) puis les marquer sur la règle graduée. Ne pas essayer de faire les calculs mathématiquement, vos calculs seront sans doute parfaits, mais les résultats seront décevants.

 

Une démonstration complète du fonctionnement mathématique d’un planimètre polaire est trop complexe pour être développée ici. Mais en simplifiant au maximum, on peut retenir trois points essentiels :

-1- Si les deux extrémités d’un segment décrivent des courbes fermées, l’aire balayée par ce segment est égale à la différence entre les aires de ces deux courbes.

-2- Une roue dont l’axe est parallèle et solidaire du segment tourne d’un angle proportionnel à l’aire balayée par le segment.

-3- Dans le cas du planimètre, le segment est déterminé par le pivot et le pointeau. Le pivot décrit un aller et retour sur un arc de cercle donc une aire nulle. Le pointeau décrit l’aire à mesurer. Donc le segment balaie une aire égale à l’aire à mesurer.

 

 

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-III-   Le Compas Diviseur

 

Le principe de cet appareil est très simple, assez voisin du pantographe. Il est basé sur la déformation de parallélogrammes articulés. La grande innovation sur cet appareil est qu’entre deux pointes, il n’y ait jamais plus de 4 articulations, ce qui limite les imprécisions dues au jeu des articulations.

 Il permet diverses opérations de fractionnement d’un segment.

-1- Partager un segment en parties égales… entre 2 et 10 parties.

-2- Reporter une fraction de segment… n/m avec n et m < 11

-3- Servir de compas de réduction.

 

Le compas qui a servi de modèle a été réalisé par Theo. Alteneder & Sons (U.S.A.), ses mesures sont toutes en pouces, ce qui est pratique pour le reproduire en Meccano.

 

 

compas diviseur026     compas diviseur003

 

La réalisation pratique en Meccano nous place face à plusieurs problèmes.

Les bandes Meccano classiques sont trop larges et celles étroites ne sont pas assez rigides. J’ai donc dû, comme sur le modèle, combiner des bandes étroites et des bandes normales.

Les bandes étroites en bas du modèle doivent impérativement se terminer par une série de pointes très régulières… Il faut donc effectuer une découpe à l’extrémité de ces bandes.

Les trous Meccano sont de 4,2mm et la visserie est de 3,8mm, donc 0,4mm d’erreurs possible par articulation et jusqu’à 1,6mm d’erreur entre deux pointes, ce qui est énorme pour un compas de précision.

Il est donc impensable d’utiliser la visserie Meccano. Par chance, Frank Hornby avait utilisé des rivets de 4,2mm pour fixer les attelages des trains Hornby… et ces rivets Hornby sont toujours commercialisés pour restaurer les trains… Ce n’est plus Meccano qui les fabrique, mais ce sont des répliques parfaites.

Plus aucun jeu dans les articulations… ça force un peu, mais pas plus que nécessaire pour un compas.

 

compas diviseur002

compas diviseur001

 

Inscrire un N° à la base de chacune des pointes n’est pas indispensable, mais cela facilite beaucoup l’utilisation de ce compas. Des chiffres à frapper permettent une inscription régulière et inaltérable.

 

 

 

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-IV-   Le Compas d’Inversion

 

1924, ce curieux modèle. En fait le modèle présente deux erreurs : le point D a été oublié à l’impression et les éléments KH et GH sont totalement inutiles et même gênants pour un fonctionnement sans à-coup.

Une fois ces erreurs réparées on constate que ce mécanisme comporte deux parties :

-1- un simple compas EA permettant de tracer un cercle de centre E passant par F.

-2- Le compas d’inversion de centre F, constitué des éléments FB, FD et du losange ABCD.

Si l’on retire le On trouve, dans le manuel Meccano de bras EA, il reste le compas d’inversion, tel que les point A et C soient inverses l’un de l’autre, c’est-à-dire que le produit FA.FC soit constant, dans le cas présent, on a FA.FC = FB² - AB².

Ce compas d’inversion peut être utilisé seul pour faire tracer par un crayon  placé en C la courbe inverse de celle suivie par le point A. Et si A décrit le cercle de rayon EA, alors le point C décrit une droite. Effectivement, sous certaines conditions l’inverse d’un cercle est bien une droite.

Au niveau réalisation, on se trouve confronté au même problème que pour le compas diviseur : des trous de 4,2mm et une visserie de 3,8mm… il y a beaucoup trop de jeu et les tracés sont trop imprécis.

 

compas diviseur005

 

Dans la réalisation de ce modèle, le plus difficile est d’éliminer toutes les sources d’imprécision… Il ne faut donc absolument pas utiliser de boulons pour les diverses articulations. On ne peut pas non plus mettre des rivets partout comme pour le compas diviseur, car certains éléments doivent être démontables.

Pour le losange articulé, j’ai choisi des rivets de 4,8mm. J’ai agrandi les trous à 4,8mm pour que cet élément important s’articule facilement et sans aucun jeu. L’avantage de ces rivets est qu’ils permettent exactement le passage d’une tringle meccano. On peut ainsi utiliser des bras de manivelle pour les deux articulations suivantes. Page suivante, l’articulation du centre d’inversion est fixée sur la plaque rouge par une roue à barillet, l’axe dépasse et pénètre la planche à dessin. Une autre roue à barillet est fixée sur la planche avec un axe s’enfonçant de 2cm dans le bois ; la plaque rouge n’est maintenue sur cet axe que par une simple bague d’arrêt. L’articulation de la partie compas est également un rivet assurant une parfaite rotation sans aucun jeu. Eventuellement un boulon peut renforcer ce rivet.

 

compas d'inversion001                 DSC01642 détail

 

Un crayon peut être enfoncé en force dans le rivet sans gêner l’articulation. Une tringle meccano à l’extrémité arrondie est bloquée par deux bagues d’arrêt sur l’autre rivet pour suivre le tracé de la courbe à inverser.

J’ai choisi des bandes de 10 trous pour constituer le losange et une bande de 11 trous pour actionner le mouvement circulaire.

Ainsi construit, ce mécanisme fonctionne avec une grande précision. La droite est tracée avec une précision de l’ordre du mm. Avec le modèle Meccano de 1924 des erreurs de 5 ou 6 mm étaient fréquentes.

Cette précision était indispensable car ce compas à inversion va servir de premier niveau pour le compas à Cissoïde du chapitre suivant

 

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-V-   Le Compas à Cissoïde

 

Entre le troisième et le premier siècle avant Jésus-Christ, la ville d’Alexandrie était connue pour son école où les plus prestigieux savants du monde venaient y enseigner et y faire de la recherche. En particulier, l’étude de la géométrie était déjà très avancée. Trois problèmes étaient restés longtemps sans solution : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l’angle… impossible à réaliser à la règle et au compas classique, les outils de l’époque. Les géomètres de l’époque furent amenés à étudier d’autres courbes pour les résoudre et plus particulièrement les Cissoïdales.

  

           

 

Deux courbes (C) et (C’) étant tracées, on obtient leur Cissoïdale de pôle O en traçant une sécante Δ passant par O. Cette sécante coupe (C) et (C’) en A et B, on place M sur Δ tel que vecteur OM = vecteur AB. L’ensemble des points M lorsque Δ pivote autour de O constitue la Cissoïdale des courbes (C) et (C’) de pôle O. Les Cissoïdales les plus étudiées à cette époque étaient celles obtenues à partir de droites, de cercles et éventuellement de coniques.

Si la courbe (C) est un cercle, la courbe (C’) une droite et le pôle O un point du cercle on obtient une Cissoïde. Une Cissoïde oblique si la droite n’est pas perpendiculaire au diamètre passant par O et une Cissoïde droite si la droite est perpendiculaire au diamètre passant par O. Parmi les Cissoïdes droites, nous avons la Strophoïde, lorsque la droite passe par le centre du cercle et la Cissoïde de Dioclès lorsque la droite est tangente au Cercle. Cette dernière a été imaginée par Dioclès pour résoudre le problème de Délos : la duplication du cube.    

Il faudra attendre le 17ième siècle pour qu’une nouvelle génération de grands mathématiciens reprenne les travaux sur ces courbes.

         

Le problème de ces tracés, est qu’il faille les réaliser point par point, c’est long et moins précis qu’un tracé continu. Nous avons déjà un outil (le compas d’inversion) qui suit simultanément un cercle et une droite, il suffit de lui adjoindre une deuxième partie qui place le point M tel que vecteur OM = vecteur AB, ce qui est assez simple à réaliser pour une Cissoïde droite quelconque.

 

Cissoïdales005                  Cissoïdales005

 

En utilisant un deuxième compas d’inversion identique à OEABF soit O’E’A’B’F’ et en le positionnant tel que O’ soit en B et B’ soit en O, le point A’ vient se positionner en M et si l’on place un crayon en A’ on peut ainsi tracer une Cissoïde Droite.  Pour la Cissoïde de Dioclès, il faut que la droite (D) soit tangente en T au cercle (C) et là le Meccano n’est plus d’accord : lorsque A se rapproche de T, la distance AB se rapproche de 0, or les points A et B ne peuvent se rapprocher de moins d’une largeur de bande donc cette partie du tracé ne pourra pas se faire, même avec des bandes étroites. Autre problème, on a la formule

 

OT² = OA.OB = OE² - EA²   et   OT = 2 OI

 

Trouver un théorème de Pythagore avec des nombres entiers n’est pas évident, la seule possibilité compatible avec Meccano est  26² = (2 x 12)² + 10². Il faut donc utiliser des bandes de 27 trous, de 13 trous et de 11 trous pour avoir respectivement 26, 12 et 10 espaces.  Les 4 bandes de 25 trous devront être allongée de 2 trous. Plus rien ne s’oppose à la construction du compas à Cissoïde de Dioclès et la duplication du cube devient réalisable à la règle et au compas à Cissoïde.

 

 

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La construction d’un tel système nécessite plusieurs niveaux d’articulations. Les diverses parties ne doivent pas se gêner et risquer un blocage.

De ce fait, l’ensemble fonctionne sur quatre niveaux, ce qui n nécessite une épaisseur de 3cm obtenue par deux plaques à rebord réunies par deux poutrelles.

 

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Dès le second niveau on reconnaît un compas d’inversion identique à celui du chapitre IV…  Mais ici il est recalculé pour que  le cercle et la droite soient tangents en T.

26² = (2 x 12)² + 10²

D’où les bandes allongées à 27 trous… Attention à ce que les vis nécessaires à cette allonge n’interfèrent pas avec le losange donc trois rondelles sont nécessaires.

 

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On pourrait se contenter de ce mécanisme, mais suivre une droite avec le point B nécessite un rail ou au moins une règle, et ce ne serait plus le compas à Cissoïde que l’on cherche à construire.

 

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Il faut que les deux plaques soient assemblées pour que le tracé de la Cissoïde de Dioclès se fasse sans utiliser de guide pour le pivot B.

 

En M nous avons un petit crayon, en A un pivot sur bras de manivelle. Il faut veiller à ce que ces deux points ne se touchent pas lors de leur croisement.

 

 

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-VI-   Les Compas à Ellipse

 

Il existe quatre méthodes pour tracer des ellipses. La première remonte à la plus haute antiquité et est toujours utilisée, surtout par les jardiniers pour tracer des massifs elliptiques à l’aide d’une ficelle et de deux piquets. La seconde méthode utilise un compas à verge avec trois poupées et un rail en croix. La troisième méthode utilise un compas à pompe dont l’axe est incliné. La quatrième utilise un rail linéaire, un compas à verge et deux articulations, c’est l’ellipsographe de Van Schooten (XVIIième siècle).

On peut dans les quatre cas utiliser le Meccano pour construire les compas correspondants, nommés aussi ellipsographes.

 

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Voici sans doute le plus simple de tous les modèles Meccano. Deux tringles de 4cm sont plantées dans la planche à dessin à l’emplacement des deux foyers et un anneau de  ficelle est tendu entre un crayon et les deux tringles. En maintenant la ficelle tendue, le crayon trace une ellipse parfaite. On peut modifier l’excentricité de l’ellipse en jouant sur la longueur de l’anneau de corde.

 

Compas à ellipse N°1

 

Le deuxième type de compas à ellipse, parfois nommé ellipsographe est constitué de deux parties distinctes :  un rail en croix et un compas à verge muni de trois poupées.

Un tel ellipsographe était contenu dans presque tous les gros coffrets à dessin des XVIIIème et  XIXème siècles.

 

Ellipsographe (22)           DSC01921

 

Pour sa réalisation en Meccano, le premier élément, le rail en croix, est constitué de quatre cornières étroites de 12 trous, coudées à angle droit et fixées sur des poutrelles plates.

 

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Le deuxième élément, le compas à verge est une tringle de 13cm munie de trois poupées constituées par des accouplements. Deux des accouplements portent une tringle de 3cm dont l’extrémité est arrondie (on peut choisir des tringles anglaises qui sont déjà arrondies).

Le troisième accouplement porte le crayon. Eventuellement, on peut adjoindre sur la verge une bague d’arrêt pour fixer un balustre. Quand les tringles de 3cm glissent dans le rail en croix, le crayon trace une ellipse. On peut remplacer la croix par une simple équerre, mais c’est moins précis et on ne trace qu’un quart d’ellipse à la fois.

 

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Les ellipsographes du type III n’ont été que peu commercialisés. Ils sont moins pratiques que les précédents car le calcul des axes est plus délicat. Le demi petit axe b, est évidement donné par l’ouverture du compas à pompe mais, pour trouver le demi grand axe, il faut connaître l’angle α donné par l’inclinaison de l’axe du compas : a = b / sin α .

La marque HAFF (Allemagne) propose un beau compas de ce type,

Il est présenté ici, dans sa boîte et en position de tracé.

Ellipsographe (32)Ellipsographe (31)

 

Ce type de compas est très voisin du compas parfait ou compas à coniques qui sert aussi au tracé des autres courbes comme la parabole et l’hyperbole.

 

Ellipsographe (28a)

 

Un modèle très voisin  est présenté ci-dessus. Il est bricolé à partir d’un compas à pompe classique, d’une longue aiguille et de l’allonge d’un autre compas munie à son extrémité d’une cornière en laiton  portant deux pointes.

 

 

 

 

En réaliser un en Meccano, n’a pas posé de problème… merci aux constructeurs d’engins de levage pseudo hydrauliques, qui ont commercialisé des tubes de 8mm de diamètre prévus pour faire coulisser des tringles Meccano de 4,1mm.

Grâce à ces tubes prévus pour simuler des vérins hydrauliques, j’ai pu réaliser les deux parties coulissantes de ce compas.

Le compas à pompe est facile à construire, Des bandes étroites, de 5 trous sont enroulées et bloquées autour du tube en laiton et le crayon est bloqué dans un accouplement  pour  bandes N° 63b. Le ressort est plus gros qu’un ressort Meccano classique et la tige filetée est soudée sur un raccord N°212 raccourcis.

 

DSC01926         DSC01927

 

L’axe inclinable est une tringle Meccano affutée en pointe à l’extrémité. Les détails de l’articulation sont bien visibles sur la figure : Un accouplement court et une chape N°166 s’articule sur une bande fixée dans une fente sur le tube en laiton. La tringle coulissante est bloquée à la longueur voulue par une vis ; son extrémité a été filetée pour se fixer sur une cornière de 5 trous ouverte à 120°. Cette cornière porte deux vis percées de trous de 1,5mm pour y placer deux pointes de phonos.

 

DSC01928             DSC01926 détail

 

Le quatrième type de compas à ellipse est l’ellipsographe de FransVan Schooten, (mathématicien néerlandais 1615-1660).

Il est constitué d’un rail glissière, d’un compas à verge AC et d’un axe pivotant OD. La poupée centrale du compas à verge, s’articule en D sur l’axe et la poupée à l’extrémité porte le crayon traçant l’ellipse, la troisième poupée, en A, porte une tringle de 4cm, à l’extrémité arrondie, qui glisse dans le rail.

ellipsographe de Van Schooten XVII

On comprend facilement que les longueurs OD et AD doivent être égales. Si AC = 2AD, le point C décrit une droite perpendiculaire au rail en O.   Pour tracer une ellipse il faut que AC soit plus grand que 2AD.

Cet ellipsographe est peu maniable et trace seulement des demi-ellipses, avec, toujours, une très forte excentricité.

 

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L’articulation en O est constituée d’une bande étroite de 5 trous coudée quatre fois et fixée à la bande de 10 trous par un rivet de 4,8mm (il faudra agrandir les trous en conséquence), doublé par une vis Meccano. Cette technique déjà utilisé pour le compas à Cissoïde, assure une très grande précision au niveau de l’articulation.

L’articulation en D est constituée d’une pièce à œillet avec vis d’arrêt N°50a, d’un accouplement fileté court et d’un boulon pivot moyen, fileté un peu plus, et légèrement raccourci.

 

 

 

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-VII-   Le Compas Parfait

 

Le compas parfait est un outil de construction géométrique inventé par Abū Sahl al-Qūhī, un mathématicien perse du Xe siècle. Cet objet permet de tracer des coniques, c'est-à-dire les sections d'un cône de révolution par un plan : la droite, le cercle, l’ellipse, l'hyperbole et la parabole. Il n'a cependant été trouvé aucun vestige archéologique correspondant à sa description.

 

Les mathématiciens perses de cette époque étaient les successeurs directs de ceux de l’école d’Alexandrie et leurs travaux en algèbre sur les équations du second, troisième et quatrième degré étaient très avancés. Ils résolvaient ces équations en étudiant les intersections des coniques d’où l’intérêt d’un tel compas. Un tracé point par point est certes très précis, mais l’utilisation du compas parfait apporte une justification de la continuité de ces courbes.

 

Le bras pivot CO fait un angle α avec la feuille, le bras traceur coulissant CM fait un angle β avec le bras pivot. Selon les valeurs de α et de  β, nous avons un cercle (α = 90° et β < 90°), une ellipse (α < 90° et β < α ),  une parabole (α < 90° et β = α ), une demi-hyperbole (α < 90° et β > α ),  une droite (α < 90° et β =90° ). 

Compas parfait 1        Compas parfait 2     Compas parfait 3    Compas parfait 4

L’excentricité de la conique  est donnée par la formule :     e = cos α / cos β .

Dans le cas de l’ellipse, les éléments caractéristiques sont très difficiles à calculer, ce qui en fait un outil peu pratique. Si on pose 2a = grand-axe, 2b = petit axe et 2f = distance des foyers on a :

       e = f/a  ,   a =  L . tg β / (4 sin α)   ,     f = L tg β / (4 tg α . cos β)    et  b² = a² - f²

             L = CO        la seule constante de ce compas.

 

Il faudra attendre les travaux de Léonard de Vinci pour trouver d’autres références de ce compas. Quelques modèles expérimentaux ont vu le jour au XVIIième et XVIIIième siècles, mais aucune commercialisation n’en a été faite.

 

Ce compas ressemble à un compas à ellipse de type III, avec toujours une partie à pompe, mais ici, ce n’est pas l’axe de rotation qui coulisse dans le tube, mais le bras portant le crayon. De ce fait, pour l’ellipsographe de type III, la courbe dessinée est l’intersection d’un cylindre avec le plan de travail, donc toujours une ellipse ; alors que pour le compas parfait, la courbe dessinée est l’intersection d’un cône avec le plan de travail, donc n’importe quelle conique.

 

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Ici encore les vérins prévus pour les engins de levages Meccano ont été utilisés pour la pompe.

Le bras, assurant la stabilité de l’inclinaison du pivot, est une cornière en U coupée à 28 trous et renforcée dans sa partie supérieure par deux bandes pour éliminer l’ovalisation des trous. La base est une cornière de 7 trous, un peu refermée. En fait, à l’usage, il semble qu’une cornière de 11 trous assure une meilleure stabilité. Cette cornière porte deux boulons percés à 1,5mm pour y insérer des pointes de phonos. Dans sa partie haute, ce bras s’articule avec le bras pivot par deux bandes de 5 trous fixées sur une chape d’accouplement. Cette articulation doit être bien serrée et s’ouvrir en forçant pour que les deux éléments gardent l’écartement choisi pendant l’utilisation. On peut compléter cette articulation, du côté du bras pivot, par deux petits goussets d’assemblage N°133a pour avoir moins d’encombrement après pliage.

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La partie pivotante de ce bras est constitué de deux bandes de 20 trous portant trois chapes d’accouplement : deux pour assurer le pivotement et une pour porter la pointe. 

Le bras traçant est constitué d’un vérin de 8cm renforcé par deux bagues en laiton coupée dans un tube 8-10mm. Ces bagues sont percées et taraudées pour recevoir les pièces des articulations. Chevilles filetées d’un côté et deux vis avec épaulement de l’autre côté. L’écartement des deux bras est maintenu par deux bandes de 11 trous avec une glissière fendue sur 6 trous.

Compte tenu que la pompe est sur le bras traçant, le compas parfait fonctionne très bien lorsque l’axe descend dans le vérin, mais bloque en remontant, si la pente est trop faible. Il est donc préférable de tracer les courbes en deux fois, toujours à partir du point où le bras traçant est le plus haut dans le vérin.

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Compas parfait (2)

 

 

La réalisation d’un modèle plus petit, en laiton, a permis de corriger deux détails sur le modèle Meccano initial : La stabilité est meilleure avec une cornière de 11 trous portant les deux pointes.

Le rangement est plus facile si l’on peut replier complètement le bras, donc il faut utiliser deux goussets N°133a. De toute façon on constate les mêmes problèmes, sur le petit modèle en laiton lorsque le bras traçant remonte dans le vérin.

 

Compas Parfait (8)    DSC02009  Compas Parfait (9)

 

 

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-VIII-   Le Compas de Réduction

 

Basé sur le principe de l’homothétie, le compas de réduction permet de relever une mesure d’un côté et de la réduire ou de l’augmenter, dans le rapport choisi, de l’autre côté. Pour réaliser cela, il est constitué de deux branches articulées, se prolongeant de chaque côté du pivot et se terminant chacune par deux pointes. La position du pivot permet de choisir l’échelle de réduction. Dans les compas les plus perfectionnés, une crémaillère permet de déplacer latéralement le pivot avec plus de précision.

  

 

 

Reproduire ce compas en Meccano va poser de nombreux problèmes… Tout d’abord la crémaillère : compte tenu de sa largeur, il faut choisir un modèle de 32cm. Ce n’est pas un modèle Meccano classique, mais comme beaucoup de pignonneries hors normes, compatibles Meccano, on peut facilement s’en procurer. A partir de là, il est évident que le compas en Meccano devra être trois fois plus grand que celui en maillechort qui sert de modèle. Les deux parties du compas seront constituées d’une double épaisseur de bandes de 25 trous (32cm), séparées de ½". Il est impossible d’utiliser des boulons et écrous pour assembler les bandes car il faut que les deux parties soient maintenues l’une contre l’autre. Pour ce compas, encore, il a fallu utiliser des rivets. Les pointes ne peuvent pas être réalisée avec des pièces Meccano ; elles sont taillées dans une bande en acier de 2 cm de large et 2 mm d’épaisseur, de même que les pièces chapotant les curseurs. Ces pièces sont assez épaisses pour en fileter les trous au pas Meccano ce qui résout le problème des écrous qui dépassent.

 

 

         

 

 

         

 

 

Le pignon utilisé sur la crémaillère, est un pignon de 15 dents, le seul parfaitement adapté à l’espace utilisable. Pour ne pas dépasser, son épaisseur a été de beaucoup, diminuée.

 

 

 

 

 

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-IX-   Le Pantographe

 

Le pantographe est l’un des outils mathématiques le plus simple à réaliser en Meccano. Dès les années 20, un modèle est présenté sans les manuels… Mais sa réalisation a déçu de nombreux jeunes meccanophiles... (fig. 1)

Trop de jeux dans les articulations, des erreurs dans les explications, une très mauvaise utilisation du merveilleux nombre de trous des bandes N°1. Vingt-cinq trous, C’est-à-dire 24 intervalles, un nombre divisible par 2, 3, 4, 6 et 8 à condition d’utiliser toute la longueur de la bande.

Sans trop d’effort, en éliminant les cavaliers N° 45 et en utilisant d’avantage de bras de manivelle N°62, on pouvait déjà beaucoup améliorer le modèle.

 

Pantographe- (10)

 

J’ai cherché à rendre cet instrument le plus précis possible. L’utilisation de la pièce N°62 est un plus pour les points A, B et C mais cela empêche un pliage complet du pantographe. J’ai eu l’idée en A et C de transformer les bandes de 25 trous en un bras de manivelle de 25 trous en sertissant des bagues d’arrêt en ces points.

 Il faut percer le trou à 8mm et utiliser des bagues récupérées sur des épaves de poulies de 25mm. Certaines roues plus épaisses ont des bagues avec la zone de sertissage plus longue que la normale. J’ai utilisé une bague de ce type en B, avec un sertissage léger pour maintenir l’articulation mobile. En F, il faut une articulation précise, permettant d’y placer une cheville filetée. Comme pour le compas d’inversion, j’ai agrandi le trou à 5mm et placé un œillet de 5mm avec un trou de 4 mm pour la cheville filetée.

Reste les articulations D et E, il faut obligatoirement des vis car ces deux articulations doivent pouvoir être changées de place pour modifier l’échelle.  Impensable d’utiliser de la visserie Meccano de 3,8mm inadaptée aux trous de 4,2 mm. Les normes américaines des vis utilisées par Gilbert Erector sont parfaites pour ce travail : 4,05mm, donc très peu de jeu.

Pour parfaire le tout on peut graduer les bandes de 25 trous et marquer les trous permettant les échelles les plus utilisées. 2, 3, 4, 6, 8 puis 1,5 et 4/3, soit avec un marqueur fin indélébile soit, et c’est le mieux, avec des chiffres à frapper.

Un dernier détail : pour mieux dessiner, le crayon doit être lesté ; une vis sans fin est parfaite dans ce rôle.

 

Pantographe- (1)

Fig. 2 : Le pantographe en position pour une reproduction x3. Pour une réduction de 1/3, il suffit d’intervertir la pointe et le crayon.

 

Pantographe- (8)

Fig. 3 : le pantographe replié montrant les graduations sur les bandes

 

Pantographe- (9)

Fig. 4 : détail des graduations obtenues avec des chiffres à frapper

 

Pantographe- (2)       Pantographe- (3)

Fig. 5 : Un bras de manivelle de 25 trous porte le crayon en C                     Fig. 6 : Une vis sans fin permet de lester le crayon en C

 

Pantographe- (4)       Pantographe- (6)

Fig. 7 :  Une bague, à manchon plus long, sertie légèrement sur les deux bandes de 25 trous, assure l’articulation en B                                                                 

 Fig. 8 : Un œillet de 5mm avec un trou de 4mm assure l’articulation en F.

Il porte une cheville filetée, pas trop serrée, pour assurer un déplacement à 2cm, au-dessus de la table à dessin.

 

Pantographe- (7)        Pantographe- (5)

Fig. 10 : Détail du pivot en A

Fig. 9: La visserie ERECTOR, de 4,05mm, assure une articulation sans jeu en D et E.

 Des doubles écrous y sont nécessaires pour bien bloquer les vis.

Les graduations, à l’aide de chiffres à frapper, sont bien visibles.

 

 

 

 

 

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-X-   Le compas à Ellipses de Clemens Riefler

 

Clemens Riefler, inventeur allemand (1820-1876), fonda une entreprise spécialisée dans la fabrication d’instruments scientifiques de tout genre. Il conçut et mit au point, entre autre, un ellipsographe très performant.

C’est un ellipsographe de type II, qui fonctionne avec une croix de saint André. Mais dans ce modèle, la croix est surélevée sur un trépied et le compas à verge se déplace sous la croix. Un bras de manivelle, au-dessus de la croix commande le mouvement, ce qui rend le tracé plus fluide. Seuls quelques exemplaires de ce modèle ont été réalisés par l’entreprise Riefler vers 1880.

 

       

 

La première chose à réaliser était la croix de saint André. A partir d’une cornière de 10 trous on peut effectuer un pliage, après avoir découpé un angle dans sa partie centrale. En combinant quatre éléments ainsi constitués, on obtient la croix recherchée

(Voir fig. 3 et 4).

Pour fixer ces quatre éléments, j’ai utilisé une couronne à double denture de 14cm car la longrine circulaire N°142 n’a pas suffisamment de perforations et la bande circulaire N° 145 est trop grande.

Le reste du trépied est réalisé à l’aide de quatre cornières de 12 trous renforcées par une bande circulaire N° 145.   Trois bras de manivelle permettent de fixer des tringles de 8cm affutées en pointe à l’une des extrémités.

 

    

Reste le problème des deux navettes circulant dans cette croix. Le premier essai a été effectué avec des bandes étroites multi-perforées de 3 trous, mais cela bloquait trop souvent à l’intersection. Un second essai avec des bandes étroites multi-perforées de 5 trous a été plus concluant,

Dans ce cas le fonctionnement était parfait (voir fig. 5 et 6), mais les navettes trop longues ne permettaient pas de tracer des ellipses de faible excentricité.

Il n’existe évidemment pas de bandes intermédiaires avec trou central.  J’ai tenté une longueur intermédiaire en façonnant des navettes en poirier. C’est un bois dur très utilisé pour les outils de dessin (voir fig. 7). Les rondelles plates servant de frotteurs inférieurs se bloquaient souvent au centre, alors je les ai remplacées par des rondelles en coupelles du jeu Sonneberger VEB Injecta (voir fig. 8). Les frotteurs supérieurs, tronçons de bandes Meccano, se bloquaient également. Je les ai doublé par des lamelles de laiton un peu plus larges. En graissant légèrement la croix et les navettes, tout fonctionne bien.

Ce jeu de navettes a représenté l’élément le plus délicat à mettre au point.

Ce compas a été initialement utilisé avec un crayon alaisé à 4mm pour être maintenu par un accouplement. Par la suite, j’ai préféré un tube laiton de 3mm emboité dans un autre tube de 4mm pour recevoir des mines de 2mm. Les deux tubes sont fendus sur une partie de leur longueur pour être serrés par une vis dans l’accouplement (voir fig. 9).

 

            

 

                         

 

         

 

 

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-XI-   Le compas à Volute de H. Johnson

 

En dehors de la réalisation de ce compas, H. Johnson reste méconnu.

Sur ce compas à volute on peut lire : The Volutor H. Johnson’s patent 1857.

Une volute est une spirale, courbe très utilisée en architecture.

Le Volutor était en laiton verni, avec ses deux poignées en porcelaine, les roulettes et la poulie en os.

Le cône, en acier était muni d’un sillon hélicoïdal pour l’enroulement de la ficelle. Le sens de la volute est déterminé par le sens de l’enroulement du sillon hélicoïdal.

 Ce cône était interchangeable en fonction du type de volute à tracer. Pour une spirale d’Archimède, une vis sans fin cylindrique remplace le cône.

J’ai voulu garder le style 19ième de ce compas et j’ai trouvé un bouton de tiroir et une poignée de porte en porcelaine bien que j’eusse pu utiliser des pièces Meccano telles que les rouleaux de bois du métier à tisser et tous les autres cylindres en tôle existant. Pour le reste, j’ai utilisé des pièces dorées pour rappel du laiton originel.

Le cône m’a demandé de longues recherches, alors qu’un outil, peu cher et très connu des plombiers, a exactement la forme cherchée, c’est le rodoir de siège pour robinetterie. Les moins chers (10€) ne disposent que d’un seul cône alors que des modèles de luxe (500€) ont tout un jeu de cônes en fonction du type de robinet.

On ne trouve malheureusement pas de rodoir avec le pas inversé pour le dessin des volutes gauches comme sur le dessin du Volutor de H. Johnson.

On comprendra que je me sois limité à un seul cône.

 

compas à volutes (1)          compas à volutes (8)

Fig. 1 : Le Volutor de H.Johnson                                                                                                  Fig. 2 : Reproduction en Meccano du compas à volutes de H. Johnson

 

 

Compas à Volutes Rodoir      compas à volutes (9)          compas à volutes (14)

Fig. 3 : Un rodoir de siège                                                            Fig. 4: Le socle monté en position                                                                Fig. 5: Le socle  vu de dessous

 

 

compas à volutes (15)        compas à volutes (11)      compas à volutes (12)

       Fig. 6: Le socle vu de dessus                                         Fig. 7 : L’axe principal, la poignée et le cône désassemblés                                                           Fig. 8 : L’axe principal, la poignée et le cône assemblés

 

Le compas à volute est constitué de quatre parties dissociables.

Tout d’abord un socle dans lequel coulissent les autres éléments. Il est muni de deux roulettes (roues barillet 25mm- Meccano-ElecN°518) pour pivoter librement autour de l’axe.

L’axe principal est une tringle de 22cm, filetée à son sommet et pointue à sa base. Il est fixé par un bras de manivelle sur le socle. Une bande de 7 trous porte un moyeu serti à chaque extrémité (allègement de l’ensemble et économie de deux bras de manivelle). Le bouton en porcelaine y est fixé par un boulon pivot. La vis moletée au sommet de la tringle est purement décorative.

La poignée en porcelaine est fixée sur une tige de 7,8mm percée à 4,2mm initialement prévu pour simuler un vérin pour des engins hydrauliques. Le cône est fixé sur cette même tige par une vis (un trou a été percé à la base du cône et taraudé au pas Meccano). Cet ensemble s’enfile sur l’axe principal.

La partie coulissante, portant le crayon est constituée de deux tringle de 29cm et s’enfile dans deux bandes coudées (N°48E 1x3x1 trous). Une ficelle, s’enroulant sur le cône fait coulisser cette partie et augmente le rayon du tracé.

Dans la position montrée sur le dessin, la ficelle est fixée sous le socle puis passe sur la poulie et vient s’enrouler sur le cône. Ce système de palan ralenti l’allongement du rayon et augmente le nombre de spires. Si la ficelle est directement fixée au niveau de la poulie, l’allongement est plus rapide et la volute est plus ample. On peut aussi remplacer le cône par un cylindre, de préférence fileté et la volute est alors une spirale d’Archimède. J’ai sélectionné deux vielles vis sans fin, trop usées pour être utilisables. Débarrassées de leur moyeu puis percées à 8mm, elles sont soudées ensembles et emboitées dans une épaisse rondelle. Un trou de 3,2mm y est percé et taraudé au pas Meccano.

Le cylindre est prêt pour dessiner une spirale d’Archimède (voir fig. 10).

 

compas à volutes (13)                         compas à volutes (16)

Fig. 9 : Le crayon et la partie coulissante                                                                                         Fig. 10 : Cylindre pour spirale d’Archimède

 

 

compas à volutes (6)

Fig. 11 : Le compas à Volute en fonctionnement

 

 

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-XII-   Le Compas à Volute de Leyerer (Würzburg)

 

Sur la base des dessins de Dyck, Leyerer de l’université de Würzburg a réalisé ce compas en 1997.

 

Le modèle m’a semblé intéressant, et malgré les commentaires négatifs du document où j’ai trouvé ces dessins, j’ai tenté de le copier. Tout semble très facile à faire, sauf la vis sans fin et son écrou. Après bien des essais, j’ai utilisé une tige filetée avec son écrou provenant d’un jeu de construction en bois. Cette vis, longue de 65mm et de 9mm de diamètre devait être traversée dans sa longueur par un axe Meccano.

Le gros problème a été de percer un trou de 4,1mm, bien centré, sur toute la longueur de cette tige. J’ai utilisé un tube de 10mm où j’ai encastré et coincé bout à bout, un accouplement Meccano et la vis en bois. Une mèche de 4mm, traversant l’accouplement, ne pouvait que continuer à percer le bois dans la continuité de l’axe. L’opération sera répétée par l’autre extrémité. Puis le trou est doucement élargi jusqu’à s’emboîter en forçant dans une tringle Meccano de 29cm qui se termine en pointe. La bande à glissière est une pièce Construction mieux adaptée que les pièces Meccano à cet emplacement. Une autre pièce délicate est le bras de manivelle double. Un moyeu de roue desserti est percé d’un trou de 4,2mm perpendiculairement au trou fileté puis il est serti sur une bande de 3 trous Construction dont le trou central a été élargi. Le sertissage doit être léger pour que la bande tourne librement autour du moyeu.

 

          

Fig. 1 et 2 :  Le dessin de Dyck et sa réalisation par  Leyerer

 

Fig. 3 et 4 : Réalisation en Meccano du compas à volute de Leyerer

 

compas à volute008

Fig. 5 et 6 :  Détails du bras de manivelle double

 

Le reste de la construction est simple à réaliser. Les vis récupérées dans un accouplement à cardan sont mises à contribution dans les parties articulées. Le compas est  bien réussi mais malgré la précision des pièces utilisées, il est peu fiable sur les premiers tours, et cela, malgré la présence du petit ressort qui minimise le jeu. Les deux pièces en bois ont été plongées dans la paraffine fondue pour les lubrifier. 

La spirale obtenue est peu intéressante car les spires sont de plus en plus rapprochées, presque confondues dans les derniers tours.  Je comprends mieux les commentaires négatifs de l’ouvrage présentant ce compas :

Spezialisierung und Generalisierung in der Entwicklung der Zirkel

Hans-Joachim Vollrath, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth

 

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-XIII-   Un Compas à Volute à crémaillère

 

Dans l’ouvrage allemand consacré aux compas :  Spezialisierung und Generalisierung in der Entwicklung der Zirkel    -    Hans-Joachim Vollrath, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth

On trouve ce curieux compas à volutes, sans aucune précision concernant son inventeur (voir fig.1). Le mécanisme est assez simple et n’utilise uniquement que des roues dentées et une crémaillère. La pointe traçante est fixée à la crémaillère de façon qu’au départ elle soit exactement positionnée au centre de la spirale.

Le mouvement très régulier ne peut tracer que des spirales d’Archimède.

Compas à volute à crémaillère (9)

Fig. 1 : Le compas à volute à crémaillère

 

Le compas se compose de deux parties : un bâti tripode fixe et une boîte d’engrenages, mobile entraînée par une manivelle.

La difficulté de la construction réside dans l’installation du premier pignon de 19 dents… il doit respecter trois conditions : être dans la boîte d’engrenages, être sur l’axe de la manivelle et être solidaire du bâti tripode.

Sur le triangle supportant le bâti est fixée une épaisse rondelle en laiton (trou de 9,5mm). Celle-ci est percée latéralement d’un trou fileté permettant à une vis de bloquer le moyeu du pignon. Le dessus de la boîte d’engrenages est percé d’un trou de 9,7mm permettant le passage du moyeu du pignon.

Cet ensemble se fixe sur le dessus de la boîte d’engrenages.

Compas à volute à crémaillère (1)

Fig. 2 : Détails de la fixation du premier pignon au bâti

 

Lorsque la manivelle fait tourner la boîte d’un tour, le pignon, restant fixe, fait tourner la roue dentée de 57 dents de 1/3 de tour. Le deuxième pignon de 19 dents solidaire de cette roue déplace la crémaillère de 19/3 de dents soit 4/3cm. Ce qui représente la distance entre chaque spire.

Compas à volute à crémaillère (3)

Fig. 3 & 4 : Détails du mécanisme

 

Ce rapport de 1/3 (19/57) peut facilement être modifié. L’accès et le remplacement des deux roues dentées peuvent se faire en quelques secondes et Meccano nous propose une gamme de rapports très variée.

15 et 60 dents soit 1/4 – spires espacées de 1cm -  25 et 50 dents soit 1/2 – spires espacées de 2cm

38 et 38 dents soit 1/1 – spires espacées de4cm  -  50 et 25 dents soit 2/1 – spires espacées de 8cm

Afin d’économiser les bras de manivelle, j’ai préféré sertir des moyeux de roues (poulies de 25mm abimées et irrécupérables) à l’extrémité des trois cornières de 11 trous ainsi que sur une bande de 4 trous pour fixer le porte-mine sous la crémaillère.

 

Compas à volute à crémaillère (6)

Fig. 5 : Réalisation en Meccano du compas à volute à crémaillère

 

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-XIV-   Les règles articulées et à glissières, de van Schooten

 

Le mathématicien flamand Frans van Schooten le jeune (1615-1660) enseigna à l’université de Leyde. Il fut surtout connu pour avoir publié les œuvres de Descartes. Parmi ses travaux, il imagina des systèmes de règles articulées et coulissantes permettant de tracer les coniques en se basant sur leur définition. Les illustrations qui suivent proviennent des dessins de van Schooten.

Frans van Schooten                   Elipsographe            Parabolographe

 

 

 

Une ellipse est l’ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes : les foyers,  est constante.

Dans la figure ci-dessus, les foyers sont H et I.

On constate que EH + EI = HG, qui est une longueur constante.

 

Une parabole est l’ensemble des points du plan équidistants d’un point fixe : le foyer, et d’une droite : la directrice.

Dans la figure de gauche, ci-contre, le foyer est en B, la directrice est la droite GE. On constate que les distances DB et DG sont égales.

 

Une hyperbole est l’ensemble des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes : les foyers,  est constante.

Dans la figure ci-dessous, les foyers sont C et F. On constate que MF – MC = MF – MG = GF, qui est une longueur constante.

 

Dans la figure ci-dessous, à gauche, les foyers sont C et F. On constate que MC – MF = MC – MD = CD, qui est une longueur constante.

 

hyperbolographe          Hyperbolographe a

 

 

En fait, l’ellipsographe et l’hyperbolographe, ci-contre, ne sont qu’un seul et même outil, pouvant se disposer de deux façons pour tracer, soit des tronçons d’ellipses soit des tronçons d’hyperboles. Le curseur en B est fixe. Les points F et F’ portent une pointe et sont fixés au foyer.

Selon l’endroit où l’on place le curseur crayon M, on trace une ellipse ou une hyperbole, dont les paramètres sont définis par les positions choisies pour F, F’ et B.

Dans les deux figures nous avons MF’ = MB    par symétrie.

Dans la figure du haut, nous avons MF + MF’ = MF + MB = FB        c’est donc un Ellipsographe.

Dans la figure du bas, nous avons            MF – MF’ = MF – MB = FB         c’est donc un Hyperbolographe.

Les glissières sont constituées de deux bandes étroites assemblées d’un côté, par une pièce triangulaire N°77, de l’autre par une bande de 3 trous perforée au 1/4". Pour empêcher les têtes de vis de buter lors des glissements, plusieurs vis ont été remplacées par des rivets, soit de 4mm soit de 5mm avec trou de 4,2mm pour permettre la traversée d’un axe.  Les vis fixées en F et F’ sont traversées par un trou de 1,5mm pour permettre d’y enfoncer une aiguille de phono en force. Ce sont les deux points fixes de cet outil.

 

pointe001

                                                                                                        

A l’essai, l’ellipsographe et surtout l’hypebolographe sont assez décevants. Un outil rotatif, compas à ellipse ou autre, est beaucoup plus maniable. Il y a trop de frottements entre les diverses pièces en mouvement et un minimum de trois mains est nécessaire. De plus certains éléments sont censés s’entrecroiser et les animations visibles sur internet nous montrent des tracés complets et impeccables. Dans la vraie vie, cela ne se passe pas ainsi,  et deux bras articulés ne peuvent pas se croiser et de ce fait on ne peut tracer que de petits tronçons de courbe à la fois.

 

Par contre le deuxième hyperbolographe de Frans van Schooten (voir page suivante) est beaucoup plus maniable. Il fonctionne parfaitement, seulement deux articulations, deux glissières et un seul curseur portant le crayon. Les foyers, positionnés en F et F’ sont équipés de vis avec pointes comme les modèles précédents. Compte tenu de la longueur des bras, les glissières sont renforcées par une double épaisseur de bandes étroites. Un ressort de compression assure un maintien souple du crayon.

On remarque la symétrie du modèle qui permet de constater : MF’ – MF = MF’ – MG = GF’

On en revient donc encore à la définition de l’hyperbole. La position des points E et F’ est modulable sur les bandes, il faut juste conserver la symétrie. On peut ainsi modifier les paramètres de l’arc d’hyperbole tracé.

On peut aussi remplacer les bandes FF’, GE, FE et GF’ par quatre autres glissières avec des curseurs bloquants en E et F’ et ainsi on pourrait moduler les paramètres de l’hyperbole sans être tributaire des trous Meccano. Autre astuce, on peut utiliser des bandes ERECTOR perforées au ¼" pour augmenter les possibilités de réglages.

 

 

Le parabolographe pose beaucoup plus de problèmes. Deux curseurs sur une même glissière doivent se croiser. C’est facile dans des animations géométriques sur internet, mais irréalisable avec l’outil présenté sur le dessin de Van Schooten.

Je pense que Van Schooten était aussi l’inventeur du cinéma d’animation géométrique ; c’est la seule façon d’envisager son dessin. En Meccano, j’ai résolu le problème du croisement des deux curseurs en les plaçant sur deux glissières solidaires superposées.

Reste l’équerre AM coulissant sur la règle DD’.

Deux pièces à œil N°50 fixées sur une architrave N°108 coulissent sur une bande de 25 trous munie de deux pointes en D et D’.

Pour assurer une rigidité parfaite de la glissière double et du losange, des moyeux de roues sont sertis sur deux des pièces triangulaires N°77 et sur la bande de 11 trous en C et F.

DD’ est la directrice et F le foyer de la parabole et, par symétrie par rapport à la diagonale MCB, on a bien

MA = MF.

Au niveau pratique cet outil est peu maniable. Trois mains sont à peine suffisantes, il y a trop de frottement avec 4 glissières, trois curseurs dont deux se croisant obligatoirement. Manipuler ce parabolographe est un vrai défi à la mécanique, même en graissant les divers éléments en mouvement.

 

           

 

Afin de minimiser les frottements, j’ai remplacé, dans une deuxième version, la règle DD’ par une tringle de 50cm et les deux pièces à œil par une bande coudée de 7 trous. Une roulette assure le bon coulissement du chariot constitué de deux architraves. La tringle est fixée à la table de dessin par 4 pointes placées dans deux accouplements.

Même ainsi il faut toujours trois mains pour actionner le parabolographe, mais son fonctionnement est un peu plus souple.

parabolographe (5)

 

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Fin